向量共线是什么公式,向量共线是什么
向量共线是什么
共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。
数学中，向量，指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量，数量只有大小，没有方向。
高中数学：向量垂直、共线在解析几何中的应用
高中数学人教版把平面向量作为处理平面问题的工具（如两点距离公式，向量共线定理，向量垂直，定比分点坐标公式，平移，夹角等）。尤其是垂直与共线问题，使用向量垂直与向量共线比传统方法简单许多。
例1. 过定点A（a，b）任作互相垂直的两直线
，且
轴交于M点，
轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程。
解：设
，由中点坐标公式得
则向量
因为
所以
整理得
该解法避开斜率，不再分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，也就不存在丢掉斜率不存在的情况，同时也简化了计算。该题的实质是向量垂直的应用。
例2. 设圆
，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点P的轨迹方程。
解：设，圆心
，则由圆的性质知
，则
所以
又
所以
整理得：
即
该解题法较多，但直接用斜率，仍需讨论。利用向量垂直，简单且不用讨论。该题的实质也是向量垂直的应用。
例3. 已知椭圆
，直线
，P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足
。当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么。
解：设
，由题意知
不同时为零，则
因为
共线且向量
同向
所以
都是正数
则
又
在上，
故
即
又
即
所以
整理得：
即
即
显然
在其上，但不满足题意，应舍去。
∴点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长半轴长为
，短半轴长为
，且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
该题的实质是向量共线的应用。设出Q点坐标，利用共线得P和R的坐标及向量
关系，找到
与
的关系，再利用点P在直线上，点R在椭圆上找到x，y关系，从而使问题得到解决。
例4. 已知椭圆
的右准线
轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线上，且
轴。求证：直线AC经过线段EF的中点。
证明：依题设得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为
，点E的坐标为（2，0），EF的中点
。
若AB垂直于x轴，则
，
则AC中点为
即AC过EF中点N，若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC//x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为
。
联立
，消去y得
设
则
，且
又
，
都在
上
所以
又
则
共线，故三点A、N、C共线，即直线AC经过线段EF的中点N。
大多数同学能做到消元后得两根之和与两根之积，有的能得到AN与CN的斜率，但能证两斜率相等的同学不多。因为要证两斜率相等，必先找到
的关系，而该关系是通过两根之和与两根之积给出的，必须构造出两根之和与两根之积：可通过作差去构造，实质是作差法证相等。
上面的解法中，我们利用直线AC过点N时，三点A、C、N共线，利用向量共线定理充要条件，化简后直接用到两根之和与两根之积，使问题解决。体现出向量共线定理直接给出坐标之间的内在关系，不用我们再去作差构造了。从而可见向量共线解决解析几何问题的优越性。
解析几何中的垂直、共线问题，应这样用：垂直问题，先设坐标，利用数量积为零找坐标联系，再与两根之和、两根之积联系起来去求，如
，可设，，则
，则
，联立方程消元后用韦达定理求。共线问题，先设坐标，利用共线找坐标的内在联系，结合韦达定理求。尤其是那些隐性的共线关系，一定要先化简找到共线关系再去求。定比分点问题的实质也是共线问题。
解析几何中的垂直、共线问题，可以用老教材中的传统方法，也可以用向量垂直、向量共线这些方法，不仅可省去某些讨论（如斜率存在不存在），也可直接抓住坐标的内在联系，不用我们再去费尽心血去构造了。
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1.22｜关键微专题：平面向量共线定理的灵活运用
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平面向量共线定理的灵活运用
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