怎么求特征向量-知道特征根怎么求特征向量

怎么求特征向量

求特征向量公式：Ax=cx。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

“特征向量新公式”不能改变数学，但也许能改变你的解题方法

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不得不说最近关于“陶哲轩的线性代数新公式”成为数学圈内最热的话题，从开始的惊诧到后面八卦娱乐，让不少人充满了欢乐。我们哆嗒数学网也发了文章，说明论文中的所谓的“新公式”并非首发。在这篇文章之前，这个公式已经不止一次出现在其他论文或者教材中了。其中目前发现最早有记载这个公式的论文在四十多年前的1968年。

这里我们希望每一个关心这件事情的人不要嘲笑当局者的任何一方，毕竟数学学科树大根深，谁也不知道从哪个犄角旮旯里出现了一个大家都不熟知的“沉睡”了许久的简单结果

。就算菲尔兹奖得主陶哲轩，也不例外，不是是什么零零碎碎的知识，他都能迅速通过肉脑搜索出来。他出现这个乌龙，一点也不奇怪。

喧嚣过后，我们哆嗒数学网的小编们突然想到，这个公式本身是真的，不是吗？再进一步思考发现，难得有菲尔兹得主发表的文章，其中的数学内容能让一个普通的大学生有可能看得懂、理解的了，说不定还能欣赏、评鉴……

——而且这还是网上热点，绝佳的一个聊聊线性代数的机会不是吗？

好了，我相信大多数关心这个新闻的人都还不知道这个公式具体是啥，因为数学家们使用的符号会让让人吓得退避三舍，不敢再深究。这篇文章将把正在读这篇文章的人看成非数学系的理工科考研党（或者相应水平），用一个简单的例子来解读这个公式到底在说啥。

首先，你都是考研党了，一定会复习线性代数这门课程的内容。知道矩阵、特征值、特征向量概念。陶哲轩的这个公式就是针对埃尔米特矩阵求特征值的公式。什么不知道什么是埃尔米特矩阵？不慌，这个类型的矩阵可能不是每一个学习线性代数的同学都会学，但是另外一个概念一定会学：实对称矩阵——矩阵里每个变量都是实数，且其转置等于本身的方阵。实对称阵是一种特殊埃尔米特矩阵，作为考研党的你，就把这个公式结果认为是针对是对称阵的，这样不会影响你品味这个公式。

好了，你理解了，这是一个可以对实对称阵求特征向量的公式。无论你大学老师还是你的考研辅导班的名师都会告诉你求方阵A特征向量的流程：

第一步：计算行列式|λI-A|=0的根，这个行列式的结果是个n阶多项式，会得到n个特征值，这里可能有重根。

第二步：对刚才每个特征值λ，解线性方程组(λI-A)X=0，找到每个方程的线性无关的的解，得到的解就是特征值λ对应的特征向量。

这里，帮你回忆一下用到的知识点，第一步你要会求行列式、大多时候你还要分解因式来求解方程的根。第二步，你要用到解线性方程组，有可能用到高斯消元法。

陶哲轩的那个新公式告诉你，哪怕你很菜，直到你上考场之前，都没掌握解线性方程组的方法，你一样也有可能解出特征向量，而且用到的知识点全部都在第一步当中——你只要会求特征根就行。

——少记忆一个知识点，这样讲是不是很吸引人？

这个公式会在第二步会拆成下面几个分步做：

新第二步第一分步：删掉A第1行第1列的元素，得到子矩阵，删掉A第2行第2列的元素，得到子矩阵，……，删掉A第n行第n列的元素，得到新矩阵。最后得到n个子矩阵。

新第二步第二分步：每个子矩阵计算特征值。这样每个子矩阵有n-1个特征值，这样的特征值有n组。

新第二步第三分步：通过以上不同地方计算得到的特征值，直接计算每个特征向量的分量值的绝对值。在通过线性无关的关心决定去掉绝对值的选取的符号。

陶哲轩的公式在原文里是这样的，很吓人。

于是，我们针对三阶实对称方阵来把他简化成下图这样。

我们做一道具体的题目，就算下面这道，怎么样，是不是很像你们的课后习题或者期末考试题？

这道题很容易算出x，y的值。最后就算找一个正交矩阵做对角化的问题。那个要找的矩阵P就算单位化的特征向量拼成一个矩阵而已。

特征值是，2，1，-1 ，也就是：

按传统做法，回去解下面的三个线性方程组，分别得到特征向量。最后得到P。

新公式的办法，会先分列子矩阵，分别计算特征值。

然后套公式解出每个分量的绝对值。

你会发现，有两个特征向量的每个分量绝对值是完全一样的，因为特征向量需要线性无关，于是很容易决定正负号的选择。另外哪个是特征值1对应的特征向量，哪个是特征值-1的特征向量还要做乘法试一试。

这样同样能得到P的结果：

当然，我们曾经试图使用这个方法想办法解决四阶方阵的问题，一般计算量会更大，并不实用。

好了，不知道你在考试中这样做会不会得分，不过的确没有解过任何线性方程组，答案也是对的。

总之，祝你好运！

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