逆矩阵的性质证明_逆矩阵的性质
逆矩阵的性质
逆矩阵性质如下：
1、 可逆矩阵一定是方阵；
2、 唯一性，如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的；
3、 A的逆矩阵的逆矩阵还是A；
4、 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且转置的逆等于逆的转置；
5、 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律；
6、 两个可逆矩阵的乘积依然可逆；
7、 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
「高等代数：矩阵」可逆矩阵的定义及其相关性质的证明
矩阵可逆的定义：令A是数域F上的一个n阶矩阵，若存在F上n阶矩阵B，使得
AB=E(E为n阶单位矩阵)
则A为可逆矩阵，并且将A的可逆矩阵
记作A⁻¹，称A⁻¹为A的逆矩阵。
可逆矩阵的性质1可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A
即(A⁻¹)⁻¹=A
证明：如果矩阵A为A⁻¹的逆矩阵，那么
根据矩阵可逆的定义，我们可以得到下面这个式子
A⁻¹A=E
所以，A为A⁻¹的逆矩阵。
可逆矩阵的性质2如果矩阵A可逆，那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k
证明：因为矩阵A可逆，所以AA⁻¹=E
所以，（A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A
=A⁻¹A=E
所以，(kA)⁻¹=A⁻¹/k
可逆矩阵的性质3如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
证明：根据可逆矩阵的定义
(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹
=AEA⁻¹
=AA⁻¹=E
所以，这个等式成立。
可逆矩阵的性质4如果矩阵A可逆，那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ
证明：根据可逆矩阵的定义
Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E
所以，这个等式成立。
可逆矩阵的性质5如果矩阵A可逆，那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ
证明：根据矩阵可逆的定义
Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E
所以，这个等式成立。
矩阵可逆的性质6如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A⁻¹|=|A|⁻¹
证明：因为A为可逆矩阵，所以
AA⁻¹=E
从而，|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1
进而，|A⁻¹|=1/|A|
即 A⁻¹|=|A|⁻¹
花了10分钟，终于明白矩阵的逆到底有什么用
有时候
根本不存在
首先，我们先来看看这个数的倒数：
·倒数
其实矩阵的逆矩阵也跟倒数的性质一样，不过只是我们习惯用A-1表示：
问题来了，既然是和倒数的性质类似，那为什么不能写成1/A？
其实原因很简单，主要是因为矩阵不能被除。不过 1/8倒可以被写成 8-1。
那矩阵的逆和倒数还有其他相似之处吗？
当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1。
8 × (1/8) = 1
当一个矩阵乘以逆时，我们得到了单位矩阵（而单位矩阵，其实也就是矩阵中的“1”）。
A × A-1=I
而此时我们将矩阵的逆放在前面，很明显，结果还是一样的
(1/8) × 8 = 1
A-1× A =I
模友：超模君，刚才讲的“单位矩阵”是什么意思，你还没说明呢
超模君：别急，慢慢来！关于单位矩阵，其实就是一个相当于数字“1”的矩阵：
·3x3的单位矩阵
那怎样的矩阵才是单位矩阵呢？
①它是“正方形”（行数与列数相同）；
②它的对角线上的数字都是1，其他地方都是0。
那问题来了，我们该如何去计算矩阵的逆呢？
换句话说：交换a和d的位置，将负数置于b和c的前面，并将所有事物除以行列式（ad-bc）
举个栗子：
不过该如何去判断这是正确的答案呢？
那这个时候就要用到我们最开始讲的公式：
A × A-1=I
所以，让我们检查一下，当我们将矩阵乘以矩阵的逆时，会是怎样的？
嘿嘿嘿嘿！我们最终得到了单位矩阵！
留个作业：试试这样，能不能得到单位矩阵呢？
其实，在了解矩阵的过程中，总是会有个疑问：为什么我们需要矩阵的逆呢？
其主要原因是：矩阵没办法被除。（这个时间各位模友可以回想一下：是不是从来都没看过矩阵被除）
换句话说，矩阵根本就没有被除的概念。
而矩阵的逆，正好是被我们用来解决“矩阵除法”的问题。
各位模友，假如我们没有“除法”这个规则，那当有人问你“如何把10分苹果平分给两个人”。
想到怎么解答没？
那我们是不是可以采取2的倒数（1/2=0.5）来计算，那答案就很清晰啦：
10 × 0.5 = 5
也就是每个人5个苹果。
那我们是不是也可以将同样的方法应用到矩阵上呢？
那故事就这么开始了，我们知道矩阵A和矩阵B，并且想要找到矩阵X。
XA = B
那最好的方法就是直接除以A（得到X = B / A），但事实上我们不能直接除以矩阵A。
但是我们却可以在公式两边都乘以AA-1=I:
XAA-1= BA-1
因为我们都知道AA-1=I，所以也就能得到
XI = BA-1
而此时单位矩阵I我们是可以直接去掉的，也就能得到：
X = BA-1
所以呢，此时我们只要知道怎么计算A-1，那就可以直接算出矩阵X（而对于计算A-1早已解决）。
丢个栗子：
有一个几个家庭组团出去旅行，出发的时候是乘坐大巴，每位儿童3元，每个大人3.2元，一共花费了118.4元。
在回程时，他们选择乘坐火车，每名儿童3.5元，每名成人3.6元，总计135.20元。
那问题来了，这里边有多少个小孩和大人呢？
虽然这道题用线性方程组来解很简单，但这次我们尝试用矩阵思维来解答。
首先，我们设置好矩阵（此时要注意好矩阵的行和列是否正确）：
那我们根据公式：
XA = B
要解决这个问题，那也就是得到矩阵A的倒数：
现在我们可以使用以下方法来解决：
X = BA-1
结果很明显，一共有16个孩子和22个大人！
那问题来了，矩阵的逆到底有什么用？
事实上，像这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物，视频游戏和计算机动画等许多地方。
此外，它也是解决线性方程组的一种方法。
虽然求矩阵的逆，只要打开MATLAB, 输入inv(A)。
但超模君这里就要插一句话：
虽然这个过程是由计算机完成，但我们还是有必要去了解公式，因为这正是数学的美妙之处！
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